基于WPS的一阶常微分方程数值求解

 

1  研究问题

一阶微分方程初值问题

                             （1）

的数值解。

2  数值解法

   设定步长为，.

2.1欧拉法

2.1.1 欧拉公式

                                （2）

2.1.2 欧拉中点公式

                               （3）

2.1.3 预估-校正法

                                （4）

2.2 龙格-库塔法

四级四阶龙格库塔法

          （5）

3  算例与WPS求解

假定方程为

                                （6）

    为检验算法有效性，先求解析解，再求数值解，便于比较。

3.1解析解

     令，则，原方程可化为，可用常数变易法或由一阶线性微分方程的公式，可得

     ，

再由，得，得，，所以

             

3.2 数值求解的欧拉法

 

步骤1：新建表格文档

 

 

步骤2：根据步长设置自变量范围

先在第一列第2到3行分别输入0,0.2，选中这两行，移动鼠标，出现“+”号是下拉。

 

 

步骤3：在B2输入初值1，然后在B3输入欧拉公式，回车或打对号后，再选中往下拉。

  

步骤4：求出解析解

 

步骤5：绘图比较选中所有数据，插入散点图

得到运行结果如下：

    可以看到，随着x的增大，数值解逐渐偏离了解析解。

3.2 数值求解的欧拉中点法

类似的步骤，可得下图，可见得到很大改善，数值解与解析解几乎重合。

3.4 数值求解的改进欧法——预估校正法

类似的步骤，全部选中绘图，然后选中图形，删除yp，yc对应图形，可得下图，可见与欧拉法相比，图形得到改善，数值解与解析解比较接近。

 

 

 

   还剩下龙格库塔法，小朋友们，自己试一试吧。

 

 

 

 

                                              王福昌编写  2018-12-01